Medidas de esfuerzo (barra)

Las siguientes medidas de esfuerzo están escritas para el caso particular de una barra en equilibrio estático sometida a cargas iguales y opuestas en los extremos:

Esfuerzo de ingeniería

Es el cociente entre la carga aplicada y el área inicial de la sección transversal.

$$ \sigma_{ing} = \frac{F}{A_0} $$

\( \sigma_{ing} \): esfuerzo de ingeniería.

\(F\): carga instantánea aplicada sobre la barra.

\(A_0\): área inicial de la sección transversal de la barra lejos de los extremos de aplicación de la barra.

Esfuerzo de Cauchy o verdadero

El esfuerzo de Cauchy también se conoce como esfuerzo verdadero. A cualquier carga aplicada, es el cociente entre la carga aplicada y el área de la sección transversal en ese instante de tiempo.

$$ \tau=\frac{F}{^tA} = \sigma_{ing} \frac{^oA}{^tA} = \frac{F}{^tA} \frac{^oA}{^oA} $$

\( \tau \): esfuerzo de Cauchy.

\(^tA\): área de la sección transversal en la configuración deformada (en un tiempo t).

\(^oA \): área de la sección transversal en la configuración inicial no deformada.

Para una barra, también se puede escribir como:

$$ \tau = \frac{F}{^oA} \left( 1 + \epsilon_{ing} \right) = \sigma_{ing} \left( 1 + \epsilon_{ing} \right) $$

\( \epsilon_{ing} \): deformación de ingeniería.

Segundo esfuerzo de Piola-Kirchhoff

$$ S = \frac{F \times ^ol}{^oA \times ^tl} = \sigma_{ing} \frac{^ol}{^tl} = \frac{F}{^tA} \frac{^ol}{^tl} \frac{^tA}{^oA} = \tau \frac{^ol}{^tl} \frac{^tA}{^oA} $$

\( S \): segundo esfuerzo de Piola-Kichhoff.

\( ^tl \): longitud de la barra en la configuración deformada (en un tiempo t).

\( ^ol \): longitud de la barra en la configuración inicial.

Esfuerzo de Kirchhoff

$$ \left(J\right) \left( \tau \right) = \left( \frac{^tA \times ^tl}{^oA \times ^ol} \right) \left( \tau \right) = \frac{F \times ^ol}{^oA \times ^ol} = \sigma \frac{^tl}{^ol} = \frac{^0\rho}{^t\rho} \tau $$

$$ \text{Kirchhoff} = \frac{^0\rho}{^t\rho} \text{Cauchy} $$

Lo anterior se puede concluir teniendo en cuenta que:

$$ J = \frac{^o\rho}{^t\rho} = \frac{m/^oV}{m/^tV} = \frac{^tV}{^oV} = \frac{^tA \times ^tl}{^oA \times ^ol} $$

\( J \): jacobiano de la transformación.

\( ^o\rho \): densidad de la barra en la configuración inicial.

\( ^t\rho \): densidad de la barra en la configuración deformada (en un tiempo t).

\( ^oV \): volumen de la barra en la configuración inicial.

\( ^tV \): volumen de la barra en la configuración deformada (en un tiempo t).