Para calcular la matriz de rigidez de un elemento primero se debe calcular la matriz de transformación deformaciones-desplazamientos. Las deformaciones de los elementos se obtienen en términos de las derivadas de los desplazamientos del elemento $u,v,w$ con respecto a las coordenadas locales $x,y,z$. Los desplazamientos de un punto dentro del elemento están definidos en términos de las coordenadas naturales $r,s,t$, por lo cual es necesario relacionar las derivadas de $x,y,z$ con las derivadas de $r,s,t$. Las derivadas requeridas se hallarán usando la regla de la cadena:

$$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial x}$$

$$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial y}$$

$$\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial z}$$

Ecuación 1

Para calcular $\partial / \partial x$ y las otras dos derivadas se requiere antes conocer el valor de $\partial r / \partial x$, $\partial s /\partial x$ and $\partial t / \partial x$. Para ello se requiere aplicar nuevamente la regla de la cadena para obtener:

$$\begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial }{\partial r} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial s} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial r} \\ \displaystyle \frac{\partial x}{\partial s} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial s} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} \\ \displaystyle \frac{\partial x}{\partial t} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial t} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial }{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial z} \end{bmatrix}$$

La expresión anterior se podría reescribir en forma matricial como:

$$\frac{\partial}{\partial r} = J \frac{\partial}{\partial x}$$

Donde a $J$ se le denomina el operador jacobiano que relaciona a las derivadas con respecto a las coordenadas naturales con las derivadas con respecto a las coordenadas locales. Si reordenamos la expresión anterior para determinar las derivadas con respecto a las coordenadas locales obtenemos que:

$$\frac{\partial}{\partial x} = J^{-1} \frac{\partial}{\partial r}$$

Se requiere que la inversa de J exista. Luego:

$$J^{-1} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial r}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial s}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial t}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial r}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial s}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial t}{\partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial r}{\partial z} & \displaystyle\frac{\partial s}{\partial z} & \displaystyle \frac{\partial t}{\partial z} \end{bmatrix}$$

Se puede usar la Ec. 1 y las expresiones,

  $$u = \sum_{i=1}^q h_i u_i ~~~~~~~~~v=\sum_{i=1}^q h_i v_i~~~~~~~~~w=\sum_{i=1}^q h_i w_i$$

para hallar $\partial u / \partial x$, $\partial u / \partial y$, $\partial u / \partial z$, $\partial v / \partial x$, ... hasta $\partial w / \partial z$ y construir la matriz de transformación deformaciones desplazamientos B, que resulta de analizar la expresión:

$$\epsilon = B \hat{u}$$

donde $\epsilon$ es un vector de componentes de desplazamiento y $\hat{u}$ es un vector de componentes de desplazamientos nodales. Si el elemento es de cuatro nodos y se tienen dos grados de libertad por nodo, entonces el vector $\hat{u}$ posee una columna y ocho filas. Dependiendo del tipo de problema (elemento tipo barra, viga, esfuerzo plano, deformación plana, axisimétrico, 3D, etc.), se poseen variables cinemáticas y estáticas bien definidas. Por ejemplo, para un problema de esfuerzo plano o un problema de deformación plana (plain stress o plain strain por su traducción al inglés) las componentes de los desplazamientos son $u,$ y $v$, el vector de deformaciones es,

$$\epsilon = \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} \\ \epsilon_{yy} \\ \gamma_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}+ \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} \end{bmatrix}$$