Demostrar que en todo triángulo la suma de las tres medianas está comprendida entre el perímetro y el semiperímetro de dicho triángulo.
Hipótesis
\(\triangle ABC\) cualquiera
\(\overline{BR}, \overline{AQ}, \overline{CP}\) medianas
Tesis
$$\frac{AB+BC+AC}{2}<BR+AQ+CP<AB+BC+AC$$
| Proposición | Razón | |
| 1. | Hipótesis. | Por hipótesis. |
| 2. | BR<(AB+BC)/2 a) | Demostración del ejercicio de desigualdades en triángulos 2. |
| CP<(BC+AC)/2 b) | ||
| AQ<(AB+AC)/2 c) | ||
| 3. | BR+CP+AQ<(AB+BC)/2+(BC+AC)/2+(AB+AC)/2 | Propiedad de las desigualdades (Adición de desigualdades). De 2a, 2b y 2c. |
| 4. | BR+CP+AQ<AB+BC+AC | Propiedad de los reales. De 3. Parte de lo que queremos demostrar. |
| 5. | AB<BQ+AQ | Teorema de desigualdad triangular. |
| AB<BR+AR | ||
| AC<AQ+QC | ||
| AC<AP+PC | ||
| BC<BR+RC | ||
| BC<BP+PC | ||
| 6. | 2AB+2AC+2BC<(BQ+QC)+(AR+RC)+(AP+PB)+2AQ+2BR+2PC | Propiedad de las desigualdades (Adición de desigualdades). De 5. |
| 7. | AB=AP+PB a) | Suma de segmentos adyacentes. |
| BC=BQ+QC b) | ||
| AC=AR+RC c) | ||
| 8. | 2AB+2AC+2BC<AB+AC+BC+2AQ+2BR+2PC | Sustitución de 7a, 7b y 7c en el lado derecho de 6. |
| 9. | AB+AC+BC<2(AQ+BR+PC) | Propiedad de las desigualdades (Sustracción) y propiedad de los reales en el lado derecho (factor común). |
| 10. | (AB+AC+BC)/2<AQ+BR+PC | Propiedad de las desigualdades (Multiplicación a ambos lados por 1/2). De 9. |
| 11. | (AB+AC+BC)/2<AQ+BR+PC<AB+BC+AC | De 4 y 10. Por propiedad de las desigualdades (Transitiva). |
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